Вычислительная механика / Методички

Расчет строительных конструкций методом конечных элементов.

Методика расчета принадлежит профессору Шапошникову Н.Н.

Введение

Среди численных методов решения задач строительной механики, получивших наибольшее распространение как в России, так и за рубежом, ведущее поло­жение занимает метод конечных элементов (МКЭ). Его отличает широкая область применения, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материа­лов, относительная простота учета взаимодействия конструкций с окружающей средой (механические, температурные, коррози­онные воздействия, граничные условия и т. д.), высокая степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета.

Цель издания методических указаний - оказать помощь студентам «САПР в строительстве» при выполнении курсовой работы, кроме того, методические указания могут быть полезны студентам других специальностей при раз­работке собственной программы, основанной на МКЭ.

Результатом курсовой работы должна быть программа, позволяющая выполнять статический расчет плоских стержневых кон­струкций. Количество узлов, которое может иметь конструкция, рассчитываемая по программе, зависит от возможностей компь­ютера. Ввиду того, что продолжительность выполнения курсовой работы ограничена одним семестром, для разрабатываемой про­граммы устанавливаются следующие требования: узлы могут быть только жесткие (шарниры в узлах не допускаются), нагруз­ки могут быть только узловые (при необходимости распределен­ную по длине стержня нагрузку несложно преобразовать в узло­вую).

Для того, чтобы рассчитать конструкцию, нужно сначала представить эту конструкцию в виде, доступном пониманию компьютера. А поскольку компьютер оперирует только цифрами, необходимо создать такую модель, которая абсолютно однозначно отображала бы рассчитываемую конструкцию, и состояла исключительно из цифр. Иными словами мы должны создать цифровую модель конструкции, а затем произвести ее расчет.

Рассмотрим , как решает эту проблему метод конечных элементов , и нам станет понятно, насколько алгоритмичен этот метод, и почему он занял главенствующие позиции а мире в вопросе численного решения инженерных задач, и расчета строительных конструкций в том числе.

Поскольку конечным элементом в стержневой системе является один стержень, необходимо понять, что является цифровой моделью одного стержня, а уже потом синтезировать каким - то образом (каким, мы поймем позже) всю конструкцию.

Цифровой моделью плоского жесткого стержня в методе конечных элементов является некоторая матрица, имеющая размерность 6х6, а называется она матрицей жесткости стержня в местной системе координат, и схематически обозначается R'i. Подробнее об этой матрице говорится в следующем параграфе, скажем только, что для любого стержня (конечного элемента) плоской стержневой конструкции, независимо от ее размеров и формы эта матрица постоянна. Имеются ввиду алгебраические формулы, входящие в элементы этой матрицы. Численные же значения могут быть для каждого стержня разные после подстановки в формулы геометрических и физических характеристик данного стержня. Но одинаковая алгебраическая форма каждого элемента матрицы позволяют один раз составить несложный блок программы, позволяющий при каждом обращении к нему формировать численное значение матрицы, представляющей собой математическую модель одного стержня.

1. Матрица жесткости стержня в местной системе координат

Каждый стержень в конструкции имеет свою ориентацию. Поэтому при расчете вводится понятие местной, или локальной (связанной с осью стержня) и общей для всей конструкции сис­тем координат. Общую систему координат можно также называть глобальная.

На рис. 1 x'i - y'i - местная, а x - y - общая система координат. Начальный узел конечного элемента обозначен через "н", конечный узел - через "к".

На рис. 2, а) изображен конечный элемент в местной системе координат, связанной с его осью, а также отмечены направления узловых перемещений Z'1, Z'2, ..., Z'6, являющихся компонентами вектора Zi = (Z'1 Z'2 ... Z'6)T в этой системе координат.

Каждый коэффициент матрицы R'i имеет определенный физический смысл. Произвольный элемент r'ij матрицы R'i численно равен i - й составляющей реакции в узловой точке от единичного смещения по j - му направлению.

На рис. 2, б) показаны связи, накладываемые на концевые сечения конечного элемента при определении реакций, а на рис. 2, в) - реакции, возникающие в связях от единичных перемещений.

В общем виде матрицу R'i можно представить следующим образом:

Элементы первого столбца матрицы (1) - реакции на концах стержня от смещения Z'1 = 1 (см. рис. 2, в). Второй и третий столбцы - реакции от смещения Z'2 = 1 и от смещения Z'3 = 1, показанных на том же рисунке. Элементы трех последних столбцов определяются смещениями правого конца стержня. Так, например, r'52 есть реакция по оси y' в конце стержня от единичного смещения по оси y' в начале стержня. Численные значения реакций для стержня постоянного сечения приведены в учебни­ках по строительной механике [1, 2].

Устанавливается следующее правило знаков: положительная реакция совпадает с положительным направлением соответствующего перемещения и наоборот

Полученная таким образом матрица имеет вид

где E - модуль упругости материала; F и J - площадь и момент инерции поперечного сечения. Длина конечного элемента 1 в матрице (2) подсчитывается по формуле

где xн, yн и xк, yк - координаты соответственно начального и ко­нечного узлов конечного элемента.

Матрицу (2) можно записать в сокращенном виде, разделив ее на четыре блока размерностью 3х3:

Каждый блок в (3) представляет собой матрицу реакций, возникающих в начале или конце стержня, что отмечено соответственно буквами "н" и "к". Вторая буква индекса указывает, смещением каких связей - начальных или конечных - вызваны эти реакции. Например, R'кн - это блок реакций на конце от смеще­ния связей в начале стержня.

Подведем итог сказанному выше. Мы имеем математическую модель одного стержня (конечного элемента) в местной, или локальной системе координат, то есть такой системе координат, в которой ось x направлена вдоль конкретного стержня, а ось y перпендикулярно. Эта модель имеет форму квадратной матрицы, размером 6х6, схематически обозначается R'i, где индекс i означает, что это матрица жесткости стержня с номером i, а значок штриха наверху означает, что система координат предполагается местная (локальная). Сама матрица представлена на странице 5.

2. Матрица жесткости стержня в общей системе координат

Поскольку стержни в конструкции могут быть расположены произвольным образом, возникает необходимость перехода от матрицы жесткости Ri', построенной в местной системе координат к матрице жесткости Ri, определенной в общей системе ко­ординат. Преобразование можно произвести по следующей фор­муле:

В формуле (4) матрица V представляет собой матрицу перехода из одной ортогональной системы координат в другую.

Отметим, что при решении нашей задачи в дальнейшем воз никнет вопрос о преобразовании вектора перемещений для от­дельного стержня, но уже из общей системы координат в мест­ную, которое производится по следующей формуле:

Матрица V, входящая в формулы (4) и (5) и позволяющая произвести оба преобразования, имеет вид

Угол а в матрице (6) - угол наклона рассматриваемого стержня к оси х общей системы координат (см. рис .1).

Значения sin a и cos a вычисляются через координаты узлов конечного элемента по формулам:

Матрицу V можно записать в блочной форме:

Подведем итог: мы получили математическую модель одного (любого) стержня произвольной плоской стержневой конструкции в общей системе координат. Она представляет собой матрицу, размером 6х6, схематически обозначается Ri, получить ее можно в результате матричной операции (4). Теперь мы подошли к самому интересному. Каким образом можно получить математическую модель всей конструкции, однозначно определяющую геометрические размеры и конфигурацию реальной конструкции. Такой моделью является матрица жесткости всей конструкции, схематически она обозначается R. Подробнее об этом в следующем параграфе.

3. Формирование матрицы жесткости всей конструкции

Общая матрица жесткости R может быть получена путем суммирования соответствующих элементов матриц жесткости отдельных стержней. Размерность матрицы R - Зn x Зn, где n - количество узлов в конструкции,

Рис. 3

Рассмотрим некоторую произвольную стержневую систему. Пусть она имеет пять узлов и шесть стержней (рис. 3). Предполо­жим, что для каждого стержня построена матрица жесткости шестого порядка в общей системе координат. Запишем ее в блочной форме.

Рассматривая стержень в составе всей конструкции, можно привести в соответствие индексам «н» и «к» реальные номера узлов начала и конца стержня. Условимся номер узла, меньший по величине, считать началом стержня, а больший – концом.

Теперь задача сводится к тому, чтобы из блоков матрицы R'i для каждого стержня сформировать матрицу жесткости всей конструкции R, в нашем случае имеющую размер 15х15.

Так как с каждым узлом связаны три перемещения, всю матрицу R удобно представить в блочной форме с размером блока 3х3. В нашем случае такая матрица будет иметь размерность 5х5.

Для наглядности представим себе, что формирование матрицы жесткости всей конструкции будет происходить путем суммирования отдельных матриц, имеющих тот же порядок, что и результирующая матрица R, где будут присутствовать только элементы, соответствующие одному стержню, остальные элементы будут нулевыми. Разумеется, делать это в программе нецелесообразно, так как расходуется большое количество памяти. Реально формирование матрицы R происходит путем засылки с суммированием соответствующих блоков матрицы жесткости одного стержня R'i на соответствующее место в матрице R. Но, для наглядности, будем формировать каждый раз матрицу полного объема, запи­сывая ее в блочном виде.

Рассмотрим последовательно все стержни – с первого до по­следнего. Номера стержней обозначены на рис. 3 цифрами в кружках.

Составим матрицы жесткости для стержней 1 и 2, которые яв­ляются элементами матрицы жесткости всей конструкции.

Стержень 1. Начало стержня – в узле 1, конец – в узле 4. Та­ким образом, индексу «н» соответствует 1, а индексу “к” - 4.

Слагаемое матрицы жесткости всей конструкции R, получен­ное в результате рассмотрения первого стержня, имеет вид

Стержень 2. Начало - в узле 4, конец - в узле 5.

Верхние индексы 1 и 2 указывают на то, что соответствующие блоки взяты из матриц жесткости, составленных для стержней 1 и 2.

Таким же образом выполняется обработка стержней 3...6.

Просуммировав все полученные составляющие DR', получим общую матрицу жесткости всей конструкции.

Однако матрица R, сформированная указанным способом, получена без учета опорных закреплений. Такая матрица соответствует конструкции, "висящей в воздухе" и не закрепленной от перемещений как жесткого целого. Она является особенной, т. е. не имеет обратной матрицы. Существует несложный прием, позволяющий учесть опорные связи. Рассмотрим его.

Перемещения по направлению закрепленных связей заведомо равны нулю. Чтобы получить нулевое решение в некоторой j - й позиции вектора Z, применяют "прием вычеркивания". Состоит он в том, что j - й столбец и j - ю строку в матрице R, а также свободный член в j - м уравнении делают нулевыми. На место диагонального элемента rjj посылают некоторое число, например, единицу. Эта операция не изменяет порядка матрицы R и дает нуле­вые значения заданных перемещений.

Подведем итог. Мы получили цифровую модель всей конструкции, которая абсолютно однозначно определят геометрическую форму, размеры, из какого материала состоят отдельные элементы и каким образом конструкция связана с землей. Последнее, что нам осталось, это задать нагрузки, действующие на конструкцию. Нагрузки на конструкцию задаются вектором нагрузок, имеющим размерность 3xn, где, как мы помним, n - это количество узлов конструкции. Подробнее о векторе нагрузок говорится в следующем параграфе.

4. Формирование вектора нагрузок

Формирование вектора нагрузок является одним из самых простых этапов алгоритма. Вектор Р имеет размерность Зn. Представим его в блочном виде. Каждому узлу соответствует блок из трех элементов:

- составляющая нагрузки вдоль оси x для i - го узла;

- составляющая нагрузки вдоль оси y для i - го узла;

- момент, действующий на i - й узел.

5. Решение системы уравнений МКЭ

Для нахождения неизвестных узловых перемещений в стерж­невой системе от действующих нагрузок необходимо решить систему алгебраических уравнений, в которой коэффициентами при неизвестных являются элементы матрицы жесткости всей конструкции R, а вектор правых частей - вектор нагрузок P:

RZ = P (7)

Систему уравнений (7) можно решить любым доступным спо­собом. Обычно для этой цели используется метод Гаусса. Воз­можно использование программы, разработанной студентом, или же стандартных подпрограмм.

В результате решения системы уравнений (7) получаем вектор перемещений Z в общей системе координат, размерность вектора соответствует вектору P и равна 3n

По традиции, подведем итог: после решения системы алгебраических уравнений мы получили вектор Z, размерностью 3xn, физический смысл элементов этого вектора- неизвестные перемещения в узлах стержневой системы. Первый блок из трех чисел представляет собой перемещения в первом узле по трем направлениям, второй блок - перемещения во втором узле и.т.д. При этом полученные перемещения представлены в глобальной системе координат. В первой половине нашего алгоритма мы произвели синтез конструкции из отдельных элементов. Теперь, поскольку окончательным решением задачи являются усилия в каждом стержне, мы должны снова перейти к рассмотрению одного стержня (конечного элемента) то есть произвести анализ. Подробнее об этом в следующем параграфе.

6. Вычисление внутренних усилий в стержнях

При вычислении усилий в конечном элементе необходимо сформировать для него вектор перемещений Zi. Его размерность равна шести, составляющими являются перемещения концевых сечений. Формирование вектора Zi производится путем выборки из вектора Z для всей конструкции элементов, соответствующих номерам узлов начала и конца рассматриваемого стержня.

Чтобы получить вектор концевых усилий в местной системе координат, необходимо преобразовать вектор Zi, из общей системы координат в местную по формуле (5).

С помощью матрицы жесткости конечного элемента R'i определим вектор концевых усилий (реакций) для каждого стержня в местной системе координат:

r'i = R'iZ'i (8)

Физический смысл (8) легко понять. В самом деле, элементы строк матрицы R'i представляют собой реакции на концах стержня по соответствующим направлениям от всех от всех единичных перемещений. Умножив поэлементно единичную реакцию на соответствующее реальное перемещение и просуммировав полученные слагаемые (в соответствии с правилом умножения матрицы на вектор), получим окончательное значение усилия по данному направлению. Компонентами вектора R'i являются продольное усилие, поперечное усилие и изгибающий момент в начальном и конечном узлах стержня, действующие по направлениям соответствующих перемещений.

Ранее нами принято следующее правило знаков: положительное концевое усилие направлено в положительном направлении соответствующего перемещения. В то же время в строительной механике принято особое правило знаков. Например, если поперечная сила в начальном и концевом сечениях стержня направлена вверх, то в результате решения она получится положительной в обоих случаях. В то же время согласно правилу знаков, принятому в строительной механике, направленная вверх поперечная сила в концевом сечении считается отрицательной. Приведем наглядную схему, показывающую, в каком случае знак полученного решения необходимо изменить.

Проанализировав приведенную схему, можно сделать следующее заключение: для приведения знаков полученного решения в соответствие с правилами строительной механики достаточно в первом, третьем и пятом элементах искомого вектора r'i поменять знаки на противоположные.

Подведя итог вышесказанному, составим последовательность действий (алгоритм), которые нужно произвести, для того, чтобы рассчитать плоскую стержневую конструкцию методом конечных элементов.

Алгоритм расчета:

1. Построение матрицы жесткости Ri в местной системе ккоординат для некоторого i - го стержня.

2. Преобразование матрицы Ri в матрицу жесткости i - го стержня в общей системе координат Ri.

3. Формирование матрицы жесткости всей конструкции R (поэлементное суммирование матрицы Ri с матрицей жесткости R).

4. Переход от i - гo к i + 1 - му стержню и повторение всех пере­численных операций.

5. Учет граничных условий

6. Формирование вектора узловых нагрузок P.

7. Решение системы уравнений RZ = P.

8. Вычисление внутренних усилий в каждом стержне.

В дальнейшем, в соответствии с данным алгоритмом составляется программа, позволяющая рассчитать произвольную плоскую стержневую конструкцию. Вопросы, связанные с программированием, в данном методическом пособии не рассматриваются. Остановлюсь только на исходной информации, которую необходимо задать, для того, чтобы произвести расчет в соответствии с изложенным выше алгоритмом.

7. Задание исходной информации

При расчете стержневой системы вводятся следующие исход­ные данные:

1. Информация об узлах - номер узла, тип узла (неопорный или опорный, который, в свою очередь, может быть жестко закрепленным, шарнирно-неподвижным, шарнирно-подвижным в направлении оси x, шарнирно-подвижным в направлении оси y), координаты узла x и y.

2. Информация об элементах - номер конечного элемента, но­мер его начального узла, номер его конечного узла, модуль упру­гости материала элемента, площадь поперечного сечения, момент инерции поперечного сечения.

3. Информация о загружении - номер узла, в котором приложена нагрузка, значение силы в направлении оси x, значение силы в направлении оси y, значение изгибающего момента. Вели­чины узловых нагрузок принимаются положительными, если они совпадают с положительными направлениями соответствующих узловых перемещений.